Estruturas Algébricas para Licenciatura - Vol. 3

Elementos de Álgebra Moderna

Jhone Caldeira Silva , Olimpio Ribeiro Gomes

2020 — 1ª edição

Livro em Pré-Lançamento

Sobre o Livro

ISBN: 9788521218531
Páginas: 506
Formato: 17 x 24 cm
Ano de Publicação: 2020
Peso: 0.810 kg

Sumário

CAPÍTULO 1 – TÓPICOS PRELIMINARES

1.1 Conjuntos, subconjuntos e seus elementos
       Subconjuntos e conjunto das partes de um conjunto
       Alguns conjuntos numéricos conhecidos

1.2 Operações de união, interseção e complementar em conjuntos
       União de conjuntos
       Interseção de conjuntos
       Complementar de conjuntos
       Propriedades

1.3 Produtos cartesianos e relações em conjuntos
       Produtos cartesianos
       Relações
       Domínio e imagem de uma relação

1.4 Relações de equivalência
       Partição de um conjunto

1.5 A Relação de congruência módulo m

1.6 Equações de congruências lineares

1.7 O conceito de função
       Domínio e contradomínio de uma função
       Imagem de uma função
       Igualdade de funções

1.8 Funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras

1.9 Composição de funções e inversa de uma função
       Composição de funções
       Função identidade e a inversa de uma função
       Exercícios propostos
 

CAPÍTULO 2 – OPERAÇÕES BINÁRIAS

2.1 Introdução

2.2 Definição e exemplos

2.3 Operações módulo m e conjunto dos inteiros módulo m
       O conjunto dos inteiros módulo m
       Operações módulo m

Apêndice: Parte fechada para uma operação

Apêndice: Tábua de uma operação
       Construindo a tábua de uma operação
       Exemplos

Exercícios propostos
 

CAPÍTULO 3 – PROPRIEDADES DAS OPERAÇÕES BINÁRIAS

3.1 Propriedades básicas
       Comutatividade
       Associatividade
       Distributividade
       Elemento neutro
       Elementos simetrizáveis
       Elementos regulares

3.2 Propriedades das operações módulo m

Apêndice: Verificando propriedades por meio da tábua de uma operação
       Comutatividade
       Associatividade
       Elemento neutro
       Elementos simetrizáveis
       Elementos regulares

Exercícios propostos
 

CAPÍTULO 4 – ELEMENTOS DA TEORIA DE GRUPOS – PARTE I

4.1 O conceito de grupo e propriedades fundamentais
       Introdução
       O conceito de grupo
       Propriedades imediatas

4.2 Exemplos de grupos, ordens e potências
       Potências em um grupo
       Ordem de um elemento em um grupo

Exercícios Propostos
 

CAPÍTULO 5 – ELEMENTOS DA TEORIA DE GRUPOS – PARTE II

5.1 Subgrupos
       Alguns subgrupos especiais da Teoria de Grupos

5.2 Classes laterais e o Teorema de Lagrange
       Classes laterais
       O número de elementos de uma classe lateral e o índice de um subgrupo em um grupo
       O Teorema de Lagrange

5.3 Subgrupos normais e grupos quocientes
       Subgrupos normais
       Grupos quocientes
       Potências e ordens de elementos em grupos quocientes

5.4 Homomorfismos e isomorfismos de grupos
       O conceito de homomorfismo de grupos
       O núcleo de um homomorfismo
       Caracterização dos grupos cíclicos
       O Primeiro Teorema do Isomorfismo
       Automorfismos e automorfismos internos de grupos

Apêndice: Alguns teoremas clássicos da Teoria de Grupos e recíprocas parciais para o Teorema de Lagrange
       O Teorema de Cayley
       A Equação das Classes e os p-grupos
       O número de elementos de produtos de subgrupos finitos
       O Teorema de Cauchy e os Teoremas de Sylow

Exercícios propostos
 

CAPÍTULO 6 – ELEMENTOS DA TEORIA DE ANÉIS

6.1 O conceito de anel e exemplos
       Introdução
       Os conceitos de anel, anel comutativo e anel com unidade
       Exemplos de anéis

6.2 Propriedades fundamentais em um anel
       Propriedades imediatas
       Subtração em um anel
       Potências e múltiplos em um anel

6.3 Subanéis e ideais
       Subanéis
       Ideais

6.4 Anéis de integridade e corpos
       Anéis de integridade
       Corpos
       Quocientes e frações em um corpo

6.5 Anéis quocientes
       Corpos e ideais maximais

6.6 Homomorfismos e isomorfismos de anéis
       O núcleo de um homomorfismo
       O Primeiro Teorema do Isomorfismo para anéis

6.7 O corpo de frações de um anel de integridade

Apêndice: Corpos finitos

Exercícios propostos
 

CAPÍTULO 7 – ANÉIS DE POLINÔMIOS

7.1 Conceitos e propriedades fundamentais
       Definindo polinômios
       Adição e multiplicação de polinômios

7.2 Grau de um polinômio

7.3 Algoritmo da Divisão

7.4 Raízes de polinômios

7.5 Métodos de divisão de polinômios
       O Método da Chave
       O Algoritmo de Briot-Ruffini

7.6 Irredutibilidade e fatoração de polinômios
       Critérios de irredutibilidade

Apêndice: Raízes de polinômios e solubilidade por radicais
      Raízes racionais de um polinômio em Z[x]
      Raízes complexas de um polinômio em R[x]
      Um pouco de História

Apêndice: Apanhado sobre anéis euclidianos

Exercícios propostos
 

RESPOSTAS DE ALGUNS EXERCÍCIOS

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

 

Sinopse

Estruturas Algébricas para Licenciatura é um conjunto de obras que visa auxiliar professores e alunos no processo de ensino e aprendizagem de fundamentos básicos de Matemática, da teoria de conjuntos e das principais estruturas algébricas. Buscamos sanar dificuldades relacionadas à linguagem e ao conteúdo, oferecendo textos dialogados e ricos em detalhes. As demonstrações são desenvolvidas com clareza; exemplos e exercícios são apresentados com o intuito de facilitar o entendimento e a aplicação dos resultados. Ao final de cada livro, apresentamos respostas de alguns exercícios propostos. Neste volume, Elementos de Álgebra Moderna, abordamos o estudo das estruturas algébricas básicas: grupos, anéis e corpos, partindo do estudo detalhado das operações binárias, passando pelos principais tópicos da Álgebra Moderna, até os anéis de polinômios.

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