Vetores com Aplicações em Física

Sergio Leonardo Gómez

2020 — 1ª edição

Livro em Pré-Lançamento

Sobre o Livro

ISBN: 9786555060027
Páginas: 304
Formato: 17 x 24 cm
Ano de Publicação: 2020
Peso: 0.501 kg

Sumário

1 Álgebra vetorial
1.1 Introdução
1.2 Reta e segmento orientado
1.3 Vetor
    1.3.1 Vetor nulo
    1.3.2 Igualdade de vetores
    1.3.3 Vetor oposto
    1.3.4 Vetores coplanares
1.4 Adição de vetores
    1.4.1 Propriedades da soma de vetores
1.5 Multiplicação por um escalar
    1.5.1 Propriedades do produto por um escalar
1.6 Versor
1.7 Produto escalar
    1.7.1 Propriedades do produto escalar
    1.7.2 Projeção de um vetor
    1.7.3 Componentes de um vetor em relação a uma direção dada
1.8 Produto vetorial
    1.8.1 Propriedades do produto vetorial
1.9 Produto misto
1.10 Pseudovetores e pseudoescalares
1.11 Problemas
 

2 Componentes de vetores
2.1 Coordenadas cartesianas
2.2 Componentes cartesianas de um vetor
2.3 Operações com vetores
    2.3.1 Produto escalar
    2.3.2 Produto vetorial
    2.3.3 Produto misto
    2.3.4 Cossenos diretores
2.4 Outras relações envolvendo produtos vetoriais
    2.4.1 Dupla multiplicação vetorial
    2.4.2 Produto escalar de dois produtos vetoriais
    2.4.3 Produto vetorial de dois produtos vetoriais
2.5 Mudança de coordenadas
    2.5.1 Translação
    2.5.2 Rotações de sistemas de coordenadas
2.6 Definição alternativa de vetor
    2.6.1 Mudança das componentes de um vetor
    2.6.2 Transformação de coordenadas no plano
    2.6.3 Rotação de um vetor no plano
2.7 Ângulos de Euler
2.8 Vetores contravariantes e covariantes
2.9 Coordenadas curvilíneas
    2.9.1 Coordenadas polares
    2.9.2 Coordenadas cilíndricas
    2.9.3 Coordenadas esféricas
2.10 Problemas
 

3 Operadores vetoriais
3.1 Noção de campo
    3.1.1 Exemplos de campos
3.2 Derivada de funções vetoriais
    3.2.1 Relações úteis
    3.2.2 Funções de mais de um parâmetro
3.3 Gradiente
    3.3.1 O operador s
    3.3.2 Propriedades do gradiente
    3.3.3 Significado geométrico do gradiente
    3.3.4 Superfícies e curvas de nível
    3.3.5 Derivadas direcionais
3.4 Divergência
    3.4.1 Propriedades da divergência
    3.4.2 A interpretação física da divergência
3.5 Rotacional
    3.5.1 Propriedades do rotacional
    3.5.2 Interpretação física do rotacional
3.6 Laplaciano
    3.6.1 Propriedades do laplaciano
3.7 Laplaciano de um vetor
3.8 Relações vetoriais úteis
3.9 Operadores vetoriais em coordenadas curvilíneas
    3.9.1 Coordenadas curvilíneas: tratamento geral
    3.9.2 Componentes curvilíneas de um vetor
    3.9.3 Gradiente
    3.9.4 Divergência
    3.9.5 Rotacional
    3.9.6 Laplaciano
3.10 Problemas
 

4 Integração de campos vetoriais
4.1 Curvas em R3
    4.1.1 Curvas planas
4.2 Áreas e volumes elementares
    4.2.1 Coordenadas cartesianas
    4.2.2 Coordenadas curvilíneas
4.3 Integral de linha
4.4 Circulação
    4.4.1 Circulação de um gradiente
4.5 Superfícies em R3
4.6 Fluxo de um campo vetorial
    4.6.1 Interpretação física do fluxo de um campo
4.7 Teorema da divergência
4.8 Definições intrínsecas de gradiente, divergência e rotacional
4.9 Fórmulas de Green
4.10 Teorema da divergência no plano
4.11 Teorema do Stokes
4.12 Campos de gradientes e rotacionais
4.13 Decomposição de um campo vetorial: teorema de Helmholtz
4.14 Ângulo sólido
4.15 Problemas
 

5 Vetores em n-dimensões
5.1 Espaços vetoriais
5.2 Bases e dimensão de um espaço vetorial
5.3 Coordenadas de um vetor
5.4 Mudança de base
5.5 Espaços vetoriais com produto interno
5.6 Ortogonalização de Gram-Schmidt
5.7 Operadores sobre espaços vetoriais
    5.7.1 Operadores lineares
    5.7.2 Representação de operadores por matrizes
5.8 Invariantes
5.9 Autovalores e autovetores
    5.9.1 Autovalores em R3
    5.9.2 Exemplos de aplicação
5.10 Problemas
 

6 Funções ortogonais
6.1 Espaços vetoriais de funções
6.2 O problema de Sturm-Liouville
6.3 Séries de Fourier
6.4 Polinômios de Legendre
6.5 Exemplos de aplicação
6.6 Problemas
 

A Matrizes
A.1 Operações com matrizes m x n
A.2 Matrizes quadradas n x n
A.3 Matrizes inversíveis

 

B Função δ de Dirac
B.1 Definição e propriedades
B.2 Sequências delta
B.3 Aplicações da delta de Dirac


Referências

Índice remissivo

Sinopse

Este livro faz uma abordagem integradora do tema de vetores, dando subsídios para uma compreensão geral do tema e permitindo que alunos de cursos de exatas compreendam seus aspectos abstratos, especialmente relacionados ao estudo de sistemas mecânicos, como os osciladores acoplados, ou nos estudos de difusão de calor, como na descrição dos estados dos sistemas na mecânica quântica.

Na primeira parte da obra, é realizada uma abordagem geométrica dos vetores e da álgebra vetorial considerando a noção de vetores em ℝ3. Também são apresentadas a representação dos vetores em sistemas de coordenadas e a relação entre as diversas representações. Na segunda parte, são abordados temas usualmente presentes em cursos de cálculo avançado. São trabalhados o conceito de vetor como objeto matemático de um espaço de dimensão n e, e especial, as noções de campos escalares e vetoriais e os campos associados como os campos gradiente, divergente e rotacional. Na última parte, são apresentadas as noções de vetor dentro do formalismo da álgebra linear.

Concomitantemente aos temas abordados, são fornecidos exemplos de aplicação dos conceitos matemáticos em diversas áreas da física, os quais não buscam exaurir as possibilidades, mas apresentar a aplicabilidade de conceitos que possam parecer demasiado abstratos.

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